Posted on
Filed Under 수능

쓰다가 한번 날려먹어서 좌절모드에 돌입했었습니다...ㅠㅠ

앞부분 해설 보기 (새 창으로 열기)

-=-=-=-=-=-=-=-=-

18, 19, 20번은 그냥 넘어갑니다. 저번에 4번을 그냥 넘어갔는데, 4번 해설을 찾으시는 분이 있더라구요.
넘어간 것들은 언젠가 설명을 쓸 지도 모릅니다;;;

-=-=-=-=-=-=-=-=-

21번
어렵게 보입니다. 네. 그렇게 보이는군요. 당연히 별로 어렵지 않다는 말을 하려고 하는걸 아시겠죠.
갑자기 뜬금없이 양 끝에 있는 두 직사각형의 넓이를 줍니다. 이러면 이걸 핵심적으로 써먹으라는 소리죠.

A_1 + A_n = \frac{7n^2 + 1}{n^3}이군요. 이제 A_1과 A_n의 값을 각각 구해서 진짜로 더해봅니다.
A_1 + A_n = \tfrac{1}{n} f ( \tfrac{1}{n}) + \tfrac{1}{n} f(\tfrac{n}{n})이 되겠죠.
함수 f가 주어졌으니 대입해서 전개하고 정리해봅니다.

A_1 + A_n = \left( \frac{1}{n} \right)^2 + \frac{a}{n} + 2b + a + 1 = \frac{1}{n}\frac{7n^2 + 1}{n^2}
좌우변에서 n의 차수를 살펴보면 a = 0, b = 3임을 알 수 있고, 결국 f(x) = x^2 + 3이 되겠지요.

그럼 적분만 하면 됩니다. 방법은 아시리라고 믿어요.
\frac{k}{n} = x, \frac{1}{n} = dx로 치환하면 되는거 아시죠?
구간은 0부터 1까지입니다.
따라서 적분식은
\int_{0}^{1}8x(x^2+3)dx
이렇게 됩니다. 적분은 스스로~~

-=-=-=-=-=-=-=-=-

22번
규칙찾기군요. 재밌지만 약간 귀찮은 문제 유형입니다.

그냥, A_n의 좌표를 (a_n, 0)이라고 합시다.
그럼 딸려 나오는 좌표들을 볼까요.
P_n = (a_n, \frac{1}{a_n})
Q_n = (\frac{1}{a_n}, a_n)
R_n = (\frac{1}{a_n}, 0)
A_{n + 1} = (\frac{1}{a_n} + 1, 0) = (a_{n + 1}, 0)

와우
우리는 결국 a_{n + 1} = \cfrac{1}{a_n} + 1이라는 식을 얻어냈군요.
여기서 일반항을 구해서 해도 되지만, a_1 = 1이고 n = 5일때를 묻고 있으니깐
그냥 대입하는게 빠를지도 모르겠네요.
분수 계산이야 쉬우니까요.

-=-=-=-=-=-=-=-=-

23번
등비수열...인데 잔머리만 잘 굴리면 쉽습니다.
일단 a_2와 a_5값을 주어졌다는 사실을 주목해야 합니다. 이렇게 두 항이 주어지면 r값을 쉽게 구할 수 있죠.
r^3 = \cfrac{a_5}{a_2}입니다. r의 3제곱에 주목해보세요.

아래 준 식의 시그마 안에 항이 3개 있습니다. 힌트가 정답으로 바뀌는 순간이죠.
a_n a_{n+1} a_{n + 2} = a_{n+1} ^3
위 식이 이해되지 않는다면 수열 부분을 처음부터 자세하게 다시 공부할 필요가 있습니다.

따라서 준 식은 {\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_{n+1}^3 = \lim_{n \to \infty}\cfrac{a_2(1-r^{3n})}{1-r^3}
이 되겠지요.

-=-=-=-=-=-=-=-=-

24번
이것 역시 그래프 그리기가 우선입니다. 그래프를 그려보면 다음과 같습니다.
x^3 - 3x - 1
f(-1) = 1이므로 -1 <= x<= 0에서는 g(x) = 1, 0<= x <= 1에서는 g(x) = f(x)입니다.
각각 구분해서 적분하면 답이 나옵니다.

-=-=-=-=-=-=-=-=-

25번
\theta에 상관없이 \alpha에 의해 잘려지는 구의 단면은 항상 원점을 중심으로 하는 원입니다.
이 원을 xy평면에 정사영을 내리면 장축의 길이가 2이고 단축의 길이가 2\cos{\theta}인 타원이 되겠지요.
따라서 이 타원의 방정식을 쓰고, 접선이 주어진 영역의 경계와 같은 것을 찾으면 됩니다.
접선의 방정식은 외우고 있길 바래요.

-=-=-=-=-=-=-=-=-

##미분과 적분을 선택합니다.

26번
직각삼각형을 2사분면에 그리고, \theta를 적절하게 표시한 뒤 길이를 적절하게 표시하면 됩니다.
그러면 적절하게 답이 나옵니다.
2배각공식을 사용해야겠지요.

-=-=-=-=-=-=-=-=-

27번
접선의 방정식은 y = ex가 나옵니다. y = 2\sqrt{x - k}의 점 P(t, 2\sqrt{t-k})에서의 접선의 방정식은
y = \frac{1}{t-k}(x-t) + 2\sqrt{t-k} 이므로, 두 접선이 같다고 두고 풀면 x의 계수와 상수항에서 각각 식이 1개씩 나옵니다.
따라서 t와 k의 값을 모두 구할 수 있게 되지요.

-=-=-=-=-=-=-=-=-

28번
도형에서의 극한 문제입니다.
선분 OP를 보조선으로 그으면 문제가 쉽게 풀리지요.
삼각형 OPQ가 직각삼각형인게 보이시죠?
따라서 \overline{PQ} = \tan{2\theta}, \overline{OQ} = \frac{1}{\cos{2\theta}}가 되지요.
대입해서 풀면 끝입니다.

팁은 2\theta = t로 치환한 후 정리하는 겁니다.
그리고 t \to 0일 때 \sin t \approx t로 근사하여 계산하면 더욱 빠르겠지요.
계산과정은 생략합니다. 자세한 계산은 여기서 설명하는 것보다 책으로 공부하는 것이 훨씬 낫기 때문입니다.

-=-=-=-=-=-=-=-=-

29번
적분식이 있고, f'g - g'f꼴입니다. f와g의 함수가 이계도함수를 갖는것 외에는 정의되지 않았으니깐
치환과 변환이 난무하는 문제가 되겠군요.

ㄱ. 준식과 비교해서 여기서는 f'이 뒤로 가있군요. 즉 앞뒤가 바뀌어 있습니다. 1-x = t로 치환하면 원하는 식을 얻을 수 있겠군요. 다만 앞뒤가 바뀌어있으니(부호가 반대이니) 결과는 -k가 될 것 같습니다.

ㄴ. 준식을 부분적분으로 바꾸어보면 다음과 같습니다.
\int_{0}^{1} { f'(x)g(1-x) }dx - \int_{0}^{1} { g'(x)f(1-x) }dx
      = \left \lbrace [f(x)g(1-x)]_{0}^1 + \int_{0}^{1}{ f(x)g'(1-x) } dx \right \rbrace
       - \left \lbrace [g(x)f(1-x)]_0 ^1 + \int_{0}^{1} g(x)f'(1-x) dx \right \rbrace
여기서 ㄱ.의 결과를 이용하면 k = f(1)g(0) - f(0)g(1) + g(1)f(0) - g(0)f(1) - k라는 결과를 얻을 수 있습니다.
따라서 2k = 0입니다.

ㄷ. ㄴ.에서 밝혔듯이, k의 값은 항상 0이군요.

-=-=-=-=-=-=-=-=-

30번
그냥 계산문제입니다. 마지막 문제라서 참신하고 어려운 문제일 줄 알았는데 힘이 빠지는군요.
d = \int_0 ^{2\pi} \sqrt{\left (\frac{dx}{dt} \right)^2 + \left (\frac{dy}{dt} \right)^2} dt입니다.
그냥 계산하면 나와요.

-=-=-=-=-=-=-=-=-

이렇게 해설을 마쳤습니다. 도움이 되기를 바래요.
전체적으로 쉬웠습니다. 부정할 수는 없겠죠. 대학생인 제가 이렇게 술술 풀 정도면 상당히 많이 쉽다는 뜻입니다.
그러나 부분적으로 어려운(또는 어렵게 느껴지는)문제가 간혹가다 있었습니다.

가장 아쉬운 부분은, 창의적인 발상을 요구하는 문제가 적었다는 것입니다. 이 부분에 대해서는 출제자 분들이 많이 반성하셔야겠군요.


뭐, 퍼가는 것은 자유입니다만 가능하면 링크로 걸어주시기 바랍니다. 마치 자신이 만든 양 퍼가는 것은 절대 사절입니다.

혹시 풀이에 이상이 있거나 수식을 보는데 어려움이 있다면 댓글로 달아주세요.
이 글을 퍼가요~♥하기 전에 봐야 될 것
Creative Commons License
+) 어떠한 경우에도, 글을 네이버 산하 서비스에 퍼가는 것을 금지합니다. 글에 사용된 이미지에 출처가 포함되어 있는 경우, 이미지의 저작권은 출처된 곳에 있습니다. 따라서 이미지는 수시로 변경될 수 있습니다.
TAG :
0 Trackbacks 0 Comments