2010학년도 수리영역 가형 해설(2) 맙소사
해설 (1)을 올렸더니
13번 이후로 문제풀이를 안써놔서 그런지
사람들이 왔다가 바로 가는군요

쳇
역시 어려운부분을 써야되는건가


바로 이어서 갑니다.
앞부분 해설 보기 (새 창으로 열기)

13번

엄청 어려워 보이는데 사실 별거 아닙니다.
이런 류의 문제는 원래 식을 조작해서 원하는 식을 만들어내는게 포인트죠
(AB)^2이 주어졌고 (BA)^2을 만들어야하고,
(AB)^2 = ABAB이니깐
B(AB)^{2}B^{-1} = BABABB^{-1} = BABA = (BA)^2
이 되겠죠.
B의 역행렬 정도는 스스로 하시기 바랍니다.

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14번

여기부터 좀 어려워지기 시작하는것 같더군요
특히 이 문제는 그림부터가 매우 잘 만들었다고 생각해요
지금껏 벡터는 그림이 주어지면 대충 그려보면 답이 나왔는데
이건 그게 아니거든요

ㄱ. 모든 벡터는 평행사변형법으로 더할 수 있습니다. 평행사변형의 두 대각선은 서로를 이등분하죠. 따라서 ㄱ.은 어느 경우든지간에 시작점이 같으면 항상 성립합니다.
ㄴ. \overrightarrow{AB}\overrightarrow{AE} = |\overrightarrow{A B}||\overrightarrow{AE}|cos{\theta} 이죠. 이 \theta는 \angle A입니다.
같이 그림을 그리면서 보시면 좋겠네요.
점 A에서 BC와 평행한 선분을 그어 ED랑 만나는 점을 P라고 하면
\angle EAP = \theta -90, \angle APE = -\theta
따라서 \overrightarrow{BC}\overrightarrow{ED} = |\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{ED}|cos(-\theta) = -\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AE}가 됩니다.

주의하실 점은 각이 -\theta라고 해서 실제 각이 '음수'라는게 아니죠.
라디안에서 \theta가 90도 이상이었으니깐 아무 이상 없습니다. 단순히 숫자상으로 그럴 뿐이에요.

ㄷ. 이 문제의 핵심이죠. 항상 ㄱ과 ㄴ은 ㄷ을 위한 떡밥인 경우가 많아요
\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AE}라는걸 떠올려보세요
준식의 양변을 제곱해보면
|\overrightarrow{BC}|^2 + |\overrightarrow{ED}|^2 + 2|\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{ED}| = |\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AE}|^2 - 2|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AE}|
각각 제곱된 것들의 값은 그 길이의 제곱이고
길이는 서로 같고
ㄴ.에서 나머지 것들이 같다는거 증명했으니 준식은 참이 되겠군요

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15번
이거 진짜 맘먹고 암산 시도하면 될수도 있습니다. 다만 머리가 빠개지겠죠. 그치만 가능은 합니다;;;;

S_1 + T_1하고 S_2 + T_2의 넓이비는 그 '계'의 길이비의 제곱입니다.
이건뭐 유명한 얘기죠.

그림판에서 가로 2배 세로 2배 늘리면 넓이는 2^2배, 즉 4배 증가합니다.
그림판에 그림을 아무렇게나 그리고 똑같이 가로2배 세로2배 하면 그 그림의 면적 역시 4배 증가하죠
그림이 생겨먹은 꼬라지는 신경쓸 필요가 없어요

\overline{A_2 C_1} = \overline{B_1 C_1} = 3 \sqrt{2}입니다. 그럼 \overline{A_2 C_2} = (3\sqrt{2} - 3) * 2 이죠. \overline{A_1 C_1} = 6이니 길이가 {1}/({\sqrt{2} -1})배 증가했군요.
(정확히 말하면 1보다 작으니 감소했죠)
이걸 무한히 더하니깐, 무한급수로 풀면 끝입니다.
S = (S_1 + T_1)\frac{1}{1-r}
S_1 + T_1 구하는게 짜증날겁니다.호 B_1 A_2 D_1을 호로 하고 C_1이 중심인 부채꼴에서 삼각형 B_1 D_1 C_1의 넓이를 빼면 빈공간 넓이가 나오죠. 그거 2배해서 전체 원넓이에서 빼주면 S_1 + T_1이 나옵니다.
즉S_1 + T_1 = \tfrac{\pi}{4}(3\sqrt{2})^2 - \tfrac{1}{2}\cdot6\cdot3이란 거죠.

여튼 저 위에 식 풀면 답 나옵니다.

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16번
일단 그래프부터 그려요. 직선이네 곡선이네 하는데 그게 눈에 안보이면 그려야죠 뭐.
n에 대해서 바뀌니깐 일단 y = |log2x|부터 그리고 시작하는거죠.
|logn(x,2)|;2 - x; 3 - x
그래프는 n=2, n=3일때의 그래프입니다.
물론 시험장에서 이런 고퀄의 그래프를 그릴수는 없겠죠
a_n은 -log_{2} x와의 교점, b_n은 log_{2}x와의 교점임을 아는 용도만으로도 일단은 충분합니다.
편의상 \,y = |log_{2}x|를 a식, \,y = -x + 2를 b식이라고 하죠.

ㄱ. n에 2를 대입하고 x에 1/4를 대입한 다음 값을 비교하면 됩니다.
만약 a식에 대입한 값이 b식에 대입한 것보다 작으면 a_2가 1/4보다 작다고 확신할 수 있겠죠.
그래프 '개형'을 보면 알 수 있어요.

ㄴ. n이 커질수록 b식이 y축을 따라서 점점 올라갈거에요. n이 절편이니까요. 딱봐도 a_{n+1} < a_n이군요.

ㄷ. 부등식에 모두 n을 곱해주면 n - log_{2}n < b_n < n이 될 겁니다. 그리고 문제에 의해 - b_n + n = log_{2}b_n이죠.
따라서 b_n = n - log_{2}b_n입니다. 즉 b_n < n만 증명하면 모든게 끝이죠.
b_n은 a식과 b식의 교점의 x좌표이고, n\,은 b식의 x절편입니다. 명백히 bn < n이군요.

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17번
4점치고는 너무 쉬운 문제입니다. 라고 하면 힘들어요. 이거 좀 잘만든 문제니까요.
(나)조건에 의해 g는 반복함수라는걸 알게 되죠. 진짜로 이름이 반복함수인지는 모르겠는데, 저는 그렇게 부릅니다.

ㄱ. f는 모든 점에서 미분가능합니다(4차함수니깐요). -1과 1에서 미분이 가능하다면, g전체에 대해서도 가능하겠죠.
g함수의 그림을 대충 그려보면 이해가 빠를 겁니다.

ㄴ. 앞에 ㄱ.에서 설명한 바로 그 상황입니다. 그런데 \,f(1) = f(-1)이 되어야하는데, 그럼 f(0)은 어쩌죠?¹
그림을 그려보면 왠지 맞는말 같아 보이는군요.
반례를 하나만 들죠. f'(1) = 0이면 틀린 식이 되는군요.

ㄷ. 평균값의 정리군요. 정확히는 '미분한 값의 평균값의 정리'정도이겠죠.
앞에 ㄱ.에서 봤듯이 f'(1) = f'(0)입니다. 게다가 f(1) = f(-1)\,이죠.
따라서 f'(c) = 0인 c \,가 (-1,1)에 '두개' 존재하겠죠. 엥?

f는 4차함수니깐, f' = 0이 되는 점이 최대 3개 있습니다. 위 조건을 만족하는 4차함수는 w모양 밖에는 없어요.
잘 생각해보면 됩니다. 함수값이 같으면서 미분값²까지 같은 경우 말입니다.
f가 하강-상승-하강-상승 형태의 그래프이므로 x=-1은 처음 상승, x=1은 두번째 상승 부분에 있겠죠.
처음 하강-상승 부분에 f'=0이 되는 점이 하나 있으므로, (\infty, -1)사이에 f'(c) = 0인 c\,가 존재합니다.

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이쯤하고, 3번째에서 이어서 갈게요

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뭐 사실 펌을 방지하기 위해 수식을 잔뜩 쓰긴 했지만 말입니다

수식이나 계산이 틀린 게 있다면 댓글로 알려주시면 감사하겠습니다.

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